Zde je použita pro změnu C++ knihovna pro symbolické výpočty GiNaC. Postup zůstává stejný - máme počáteční metriku $ g_{\mu\nu} $ a z ní počítáme symbolicky Einsteinovy rovnice $ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} = \frac {8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $ (konstanta $\frac {8\pi G}{c^4}$ je zahrnuta do T, takže rovnice je $ G_{\mu\nu}=T_{\mu\nu} $)
Vyjděme z publikace prof. Kulhánka Obecná relativita, postup má svou hierarchii. Z $g_{\mu\nu}$ vypočteme jako inverzní matici $g^{\mu\nu}$. Pak lze vypočíst Christoffelovy symboly $ \Gamma^{\gamma}_{\alpha\beta} = \frac{1}{2} g^{\gamma\xi} (g_{\xi\alpha,\beta} + g_{\xi\beta,\alpha} - g_{\alpha\beta,\xi}) $ a z nich Riemannův tenzor $ R^{\eta}_{\beta\gamma\delta} = \Gamma^{\eta}_{\beta\delta,\gamma} - \Gamma^{\eta}_{\beta\gamma,\delta} + \Gamma^{\xi}_{\beta\delta}\Gamma^{\eta}_{\xi\gamma} - \Gamma^{\xi}_{\beta\gamma}\Gamma^{\eta}_{\xi\delta} $ a jeho zúžením Ricciho tenzor $ R_{\alpha\beta} = R^{\xi}_{\alpha\xi\beta} $ a dále Ricciho skalár $ R = R^{\xi}_{\xi} $ .
Souřadnice : [$ t , r , \Theta , \Psi , $]
\[ g_{\mu\nu} = \left(\begin{array}{cccc}- c^{2}&0&0&0\\0&-\frac{a(t)^{2}}{-1+ r^{2} k}&0&0\\0&0& a(t)^{2} r^{2}&0\\0&0&0& a(t)^{2} r^{2} \sin(\Theta)^{2}\end{array}\right)\quad ; \quad g^{\mu\nu} = \left(\begin{array}{cccc}-\frac{1}{c^{2}}&0&0&0\\0&-\frac{-1+ r^{2} k}{a(t)^{2}}&0&0\\0&0&\frac{1}{ a(t)^{2} r^{2}}&0\\0&0&0&\frac{1}{ a(t)^{2} r^{2} \sin(\Theta)^{2}}\end{array}\right) \]
\[ R = 6 \frac{ c^{2} k+\dot{a}(t)^{2}+ \ddot{a}(t) a(t)}{ a(t)^{2} c^{2}} \]
\[ G_{00} = 3 \frac{ c^{2} k}{a(t)^{2}}+3 \frac{\dot{a}(t)^{2}}{a(t)^{2}} \]
\[ G_{11} = \frac{ c^{2} k+\dot{a}(t)^{2}+2 \ddot{a}(t) a(t)}{ {(-1+ r^{2} k)} c^{2}} \]
\[ G_{22} = -\frac{ r^{2} {( c^{2} k+\dot{a}(t)^{2}+2 \ddot{a}(t) a(t))}}{c^{2}} \]
\[ G_{33} = -\frac{ r^{2} {( c^{2} k+\dot{a}(t)^{2}+2 \ddot{a}(t) a(t))} \sin(\Theta)^{2}}{c^{2}} \]
\[ T_{00} = 8 \pi G \rho \]
\[ T_{11} = -8 \frac{ \pi G a(t)^{2} p}{ {(-1+ r^{2} k)} c^{4}} \]
\[ T_{22} = 8 \frac{ \pi G a(t)^{2} r^{2} p}{c^{4}} \]
\[ T_{33} = 8 \frac{ \pi G a(t)^{2} r^{2} \sin(\Theta)^{2} p}{c^{4}} \]
\[ \frac{ c^{2} k}{a(t)^{2}}+\frac{\dot{a}(t)^{2}}{a(t)^{2}} = \frac{8}{3} \pi G \rho \]
\[ -\frac{ c^{2} k}{a(t)^{2}}-2 \frac{\ddot{a}(t)}{a(t)}-\frac{\dot{a}(t)^{2}}{a(t)^{2}} = 8 \frac{ \pi G p}{c^{2}} \]
\[ \frac{ c^{2} k}{a(t)^{2}}+2 \frac{\ddot{a}(t)}{a(t)}+\frac{\dot{a}(t)^{2}}{a(t)^{2}} = -8 \frac{ \pi G p}{c^{2}} \]
\[ \frac{ c^{2} k}{a(t)^{2}}+2 \frac{\ddot{a}(t)}{a(t)}+\frac{\dot{a}(t)^{2}}{a(t)^{2}} = -8 \frac{ \pi G p}{c^{2}} \]
Rovnice máme, odpovídají tomu co je publikováno v odborné literatuře. Výpočet je opravdu dost složitý, prof. Michal Křížek vůbec nepřehání, že použité rovnice mají tisíce členů. Každý nenulový člen metriky je použit při výpočtu 865 krát, inverzní metriky 289 krát, což je celkem 4616 členů. Tohle bylo vyzkoušeno jen pro kontrolu - původně jsem to dělal v pythonu (SymPy), tady je použita C++ knihovna, je rychlejší, ale má svá omezení - derivace symbolické funkce je dost divoká (ale správná), knihovna nemá solver pro diferenciální rovnice. To v tomto případě nevadí, finální úpravy je už možné udělat ručně. Důležité je, že jak SymPy, tak i GiNaC poskytují stejné výsledky. Trochu matoucí je použití T na pravé straně. Aby to vycházelo beru $ T^{\mu}_{\nu} $ jako diagonální matici $ diag(-\rho c^2, p, p, p) $, kde $\rho$ je hustota hmoty, p tlak a snížím index přes metriku : $ T_{\mu\nu} = g_{\mu\alpha} T^{\alpha}_{\nu} $. Zřejmě je to korektní postup, hlavně dá rozumný výsledek. I z výše uvedeného pramene, kapitola 8. se to dá takto pochopit.
Jak souvisí Gaussova křivost k s Ricciho skalárem R ?
Pokud funkci a(t) považujeme na bezrozměrnou s tím, že hodnota a v současnosti je rovna 1, pak by mělo být pro sféru S3 $ R = 6 k $. Protože $ k = \frac{1}{R_0^2} $, kde $ R_0 $ je něco jako "poloměr" zakřivení vesmíru, je možné chápat a(t) jako tt. poloměr a k je pak -1, 0 nebo +1 bezrozměrná konstanta.