1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227 | #!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
description = """
Tento jednoduchý skript řeší poměrně otravný problém, který
je však snadno algoritmizovatelný. Jsou to jen opakované parciální derivace,
jejichž výsledky jsou dosazovány do daných výrazů. Protože se přitom člověk
snadno splete (hlavně ve znaménku), je lepší to nechat na programu.
Stačí nadefinovat potřebné symboly pro konstanty a časově závislé proměnné
(zobecněné souřadnice), pomocí nich pak vyjádřit lagranžián a o zbytek se postará python.
"""
from sympy.core import mul, add
from sympy.physics.vector.printing import vlatex
from sympy.physics.mechanics import dynamicsymbols
from sympy import (Symbol, symbols, Derivative,
Eq, pprint, solve, latex, simplify, expand)
################# HTML dekorace ###############################################
class Tag:
def __init__(self, n, v):
self.name = n
self.value = v
def to_str (self):
return ' ' + self.name + '=\"' + self.value + '\"'
class Element:
def __init__(self, n, v=None):
self.name = n
self.value = v
self.tags = []
self.childs = []
self.id = 0
def addE (self, e):
self.childs.append(e)
def addT (self, t):
self.tags.append(t)
def addF (self, f):
t = Tag ('class','formulaDsp')
for p in f:
n = Element('p', '\\[' + p + '\\]')
n.addT(t)
self.addE(n)
def to_str (self):
s = self.indent()
s+= '<' + self.name
for n in self.tags: s += n.to_str()
s+= '>'
if self.value != None: s += self.value
for n in self.childs: s += n.to_str()
s+= self.indent()
s+= '</' + self.name + '>'
return s
def cal (self, k=0):
self.id = k
for n in self.childs: n.cal (k+2)
def indent (self):
s = '\n' + self.id * ' '
return s
def set_root (e, root):
styl = Element('style', 'body {background-color: rgb(192,255,255);} h2 {color: rgb(64,0,192);} h3 {color: rgb(192,0,0);} table {color: rgb(128,0,128);}')
scfg = 'MathJax.Hub.Config({\n extensions: [\"tex2jax.js\","TeX/AMSmath.js"],\n jax: [\"input/TeX\",'
scfg+= '\"output/HTML-CSS\"],\n tex2jax: {inlineMath: [[\'$\',\'$\']]},\n displayAlign: \"left\"});'
head = Element('head')
meta = Element('META')
titl = Element('title', 'Lagrange')
s1 = Element('script', scfg)
s2 = Element('script')
s1.addT(Tag('type','text/x-mathjax-config'))
s2.addT(Tag('type','text/javascript'))
s2.addT(Tag('src','https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.1/MathJax.js'))
meta.addT(Tag('HTTP-EQUIV','CONTENT-TYPE'))
meta.addT(Tag('CONTENT','text/html; charset=utf-8'))
head.addE(meta)
head.addE(titl)
head.addE(styl)
head.addE(s1)
head.addE(s2)
e.addE (head)
body = Element('body')
body.addE(root)
e.addE (body)
e.cal()
def html_head ():
s = '<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN\" \"http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd\">'
return s
def CreateHTML (filename, html):
s = html_head ()
r = Element ('html')
set_root (r, html)
s += r.to_str()
file = open (filename,'w')
file.write(s)
file.close()
def output (counter, problem, L, H, hce, lce):
html = Element('div', '<hr>')
html.addE(Element('h2','Řešený problém : {0:s}'.format(problem)))
html.addE(Element('h3','{0:d}.1. Zadaný lagranžián :'.format(counter)))
html.addF (['L = ' + vlatex(L)]);
html.addE(Element('h3','{0:d}.2. Lagrangeovy rovnice :'.format(counter)))
html.addF ([vlatex(lce)]);
html.addE(Element('h3','{0:d}.3. Hamiltonova funkce :'.format(counter)))
html.addF (['H = ' + vlatex(H)]);
html.addE(Element('h3','{0:d}.4. Hamiltonovy kanonické rovnice :'.format(counter)))
table = Element('table')
table.addT(Tag('align','center'))
for p in hce:
td = ''
for q in p: td += '\n<td class="formulaDsp">\\[{0:s}={1:s}\qquad\\]</td>'.format(vlatex(q[0]), vlatex(expand(q[1])))
tr = Element('tr', td)
table.addE(tr)
html.addE(table)
return html
#################### Vlastní výpočty ##########################################
t = Symbol('t') # Globální symbol pro čas
# vykrácení konstantou uděláme ručně, ale nemusí to fungovat, v podstatě jde jen o zbytečné hmotnosti
def parse (ex):
ex = expand (ex)
if ex.func != add.Add: return ex
e1 = ex.args[0]
if e1.func != mul.Mul: return ex
p = e1.args
x = []
for b in p: x.append(0)
for e in ex.args:
if e.func != mul.Mul: break
for a in e.args:
for i,b in enumerate(p):
if a == b: x[i] += 1 # TODO: or plus power of expression
l = len (ex.args)
z = []
for i,y in enumerate(x):
if y == l: z.append (p[i])
for e in z: ex = ex / e
ex = simplify (ex)
ex = expand (ex)
return ex
def lagrange (L, coord):
lce = []
for c in coord:
ex = L.diff(c[1]).diff(t) - L.diff(c[0]) # výraz pro Lagrangeovu rovnici
ex = parse (ex) # vykrátit případné konstanty (lze i ručně)
le = Eq (ex, 0) # a udělat z toho rovnici
lce.append (le)
pprint(lce)
return lce
def compute (input, Counter):
res = input()
coord__x = res[0]
coord__p = res[1]
L = res[2]
pprint (L) # Pro kontrolu
coord_dp = []
for p in coord__p: coord_dp.append (p.diff(t))
coord_dx = []
for p in coord__x: coord_dx.append (p.diff(t))
lce = lagrange (L, zip(coord__x, coord_dx))
E = -L
for p in coord_dx: E += L.diff (p) * p
E = simplify (E)
#pprint (E) # Energie
coord_ps = []
for p in coord_dx: coord_ps.append (L.diff(p))
coord__h = zip (coord__p, coord_ps)
eqs = [] # Legendreova duální transformace
for p in coord__h: eqs.append(Eq(p[0], p[1]))
sol = []
for i,p in enumerate(eqs): sol.append (solve ([p], [coord_dx[i]]))
for i,p in enumerate(sol): E = E.subs (coord_dx[i], p[coord_dx[i]])
H = simplify (E)
H = expand (H) # O něco čitelněji
pprint (H) # Hamiltonova funkce
hce = []
for i,p in enumerate(coord__x):
eqx = Eq (+H.diff (coord__p[i]) - coord_dx[i], 0)
eqx = solve ([eqx],[coord_dx[i]])
eqx = [coord_dx[i], eqx[coord_dx[i]]]
eqp = Eq (-H.diff (coord__x[i]) - coord_dp[i], 0)
eqp = solve ([eqp],[coord_dp[i]])
eqp = [coord_dp[i], eqp[coord_dp[i]]]
hce.append([eqx, eqp])
pprint (hce) # Hamiltonovy kanonické rovnice
return output (Counter, res[3], L, H, hce, lce)
######################## Uživatelská část #####################################
def entry1 ():
##### Zadání #####
m,mu,C = symbols ('m mu C') # konstanty
x, Q = dynamicsymbols ('x Q') # proměnné (zobecněné souřadnice)
px,pQ = dynamicsymbols ('p_x p_Q') # symboly pro příslušné zobecněné hybnosti
# Lagranžián
L = (m * (x.diff(t))**2)/(2) + (mu * x * (Q.diff(t))**2)/(2) - (Q**2)/(2 * C)
#############################################################################
return [[x, Q], [px, pQ], L, 'Railgun'] # Zobecníme výstup
def entry2 (): # Z učebnice - pohyb planety kolem Slunce, vychází
G,m,M = symbols ('G m M') # konstanty
##### Zadání #####
r, phi = dynamicsymbols ('r phi') # proměnné (zobecněné souřadnice)
pr, pphi = dynamicsymbols ('p_r p_phi') # symboly pro příslušné zobecněné hybnosti
# Lagranžián
L = (m/2 * ((r.diff(t))**2 + (r**2)*((phi.diff(t))**2))) + ((G * m * M) / r)
#############################################################################
return [[r, phi], [pr, pphi], L, 'Pohyb planety'] # Zobecníme výstup
def entry3 (): # Z učebnice - harmonický oscilátor, vychází
##### Zadání #####
m,omega = symbols ('m omega') # konstanty
x = dynamicsymbols ('x') # proměnné (zobecněné souřadnice)
px = dynamicsymbols ('p_x') # symboly pro příslušné zobecněné hybnosti
# Lagranžián
L = (m * (x.diff(t))**2 - m * omega**2 * x**2) / 2
#############################################################################
return [[x], [px], L, 'Harmonický oscilátor'] # Zobecníme výstup
###############################################################################
if __name__ == "__main__":
computed = [entry1, entry2, entry3] # Co vše se bude počítat
html = Element('div')
html.addE(Element('h1','Automatický výpočet Hamiltonových rovnic z lagranžiánu v pythonu pomocí sympy - vyzkoušené příklady.'))
html.addE(Element('p', description))
for i,p in enumerate(computed, start = 1): html.addE(compute(p, i))
CreateHTML('equations.html', html) # převod do lidsky čitelné formy (mathjax latex v html)
|