Příklad ukazuje jak spočítat Schwarzschildovu metriku v jazyce python. Pro podobné symbolické výpočty je určena knihovna SymPy, která ku podivu zvládá i takovéto poměrně komplikované výpočty u nichž při ručním způsobu snadno uděláme chybu (i když tady samozřejmě také, ale jde to o něco hůř). Mohla by to tedy být jakási alternativa k programům jako je Wolfram Mathematica a jiné. Už proto, že python je hodně obecný a tak umožňuje integrovat tyto výpočty do širších souvislostí. Zde příkladně integruje výpočet a zobrazení jeho průběhu v html stránce. Je zajímavé, že původní zdroj, ze kterého jsem čerpal jak nakládat s tenzory počítá tu výslednou metriku jinak - pokládá Ricciho tenzor rovný nule, a přesto mu vychází správné řešení. Je patrné, že používá druhou formu Einsteinových rovnic, ale nekontroloval jsem, zda je pak pravá strana rovnic také nulová. Zřejmě ano a proto to vychází. Nicméně není to jednodušší, musí použít trik pro výsledné řešení rovnic, který zde není potřeba. Tento příklad je tedy jakési doplnění především publikace pana profesora Kulhánka [1]Obecná relativita, kapitola 10, kde se podrobný výpočet z pochopitelných důvodů neprovádí.
Vychází ze sférických souřadnic $ \{ t, r, \Theta, \phi \} $, přičemž r vlastně není radiální souřadnice ve zvoleném systému, ale jakýsi poloměr, který zachovává plochu koule $ 4\pi r^2 $, symbol t zde má rozměr délky (správně by to tedy mělo být ct, což není podstatné, v $g_{00}$ by přibyla jen konstanta $c^2$). Je to tak pro snazší výpočet. Hledáme tedy funkce $ \lambda(r), \nu(r) $. Pro více informací proč se to dělá právě takto viz [1] , kapitola 10.
\[g_{\mu\nu} = \left[\begin{matrix}- \lambda{\left (r \right )} & 0 & 0 & 0\\0 & \nu{\left (r \right )} & 0 & 0\\0 & 0 & r^{2} & 0\\0 & 0 & 0 & r^{2} \sin^{2}{\left (\theta \right )}\end{matrix}\right]\]
Vzorec je z [1], rovnice (87): $ \Gamma^{\gamma}_{\alpha\beta} = \frac{1}{2} g^{\gamma\xi} (g_{\xi\alpha,\beta} + g_{\xi\beta,\alpha} - g_{\alpha\beta,\xi}) $ . Dále se pak tyto symboly používají k výpočtům Riemannova tenzoru. Vypíšeme jen nenulové členy.
\[\Gamma^{0}_{01} = \frac{\frac{d}{d r} \lambda{\left (r \right )}}{2 \lambda{\left (r \right )}}\]
\[\Gamma^{0}_{10} = \frac{\frac{d}{d r} \lambda{\left (r \right )}}{2 \lambda{\left (r \right )}}\]
\[\Gamma^{1}_{00} = \frac{\frac{d}{d r} \lambda{\left (r \right )}}{2 \nu{\left (r \right )}}\]
\[\Gamma^{1}_{11} = \frac{\frac{d}{d r} \nu{\left (r \right )}}{2 \nu{\left (r \right )}}\]
\[\Gamma^{1}_{22} = - \frac{r}{\nu{\left (r \right )}}\]
\[\Gamma^{1}_{33} = - \frac{r \sin^{2}{\left (\theta \right )}}{\nu{\left (r \right )}}\]
\[\Gamma^{2}_{12} = \frac{1}{r}\]
\[\Gamma^{2}_{21} = \frac{1}{r}\]
\[\Gamma^{2}_{33} = - \sin{\left (\theta \right )} \cos{\left (\theta \right )}\]
\[\Gamma^{3}_{13} = \frac{1}{r}\]
\[\Gamma^{3}_{23} = \frac{\cos{\left (\theta \right )}}{\sin{\left (\theta \right )}}\]
\[\Gamma^{3}_{31} = \frac{1}{r}\]
\[\Gamma^{3}_{32} = \frac{\cos{\left (\theta \right )}}{\sin{\left (\theta \right )}}\]
Výpočet je už dost komplikovaný. Nejprve spočteme Riemannův tenzor (256 složek) z [1] rovnice (170): $ R^{\eta}_{\beta\gamma\delta} = \Gamma^{\eta}_{\beta\delta,\gamma} - \Gamma^{\eta}_{\beta\gamma,\delta} + \Gamma^{\xi}_{\beta\delta}\Gamma^{\eta}_{\xi\gamma} - \Gamma^{\xi}_{\beta\gamma}\Gamma^{\eta}_{\xi\delta} $. Pak jej zúžíme podle rovnice (174) : $ R_{\alpha\beta} = R^{\xi}_{\alpha\xi\beta} $ a máme výsledek. Vypíšeme nenulové členy.
\[R_{00} = \frac{\frac{d^{2}}{d r^{2}} \lambda{\left (r \right )}}{2 \nu{\left (r \right )}} - \frac{\frac{d}{d r} \lambda{\left (r \right )}}{4 \nu^{2}{\left (r \right )}} \frac{d}{d r} \nu{\left (r \right )} - \frac{\left(\frac{d}{d r} \lambda{\left (r \right )}\right)^{2}}{4 \lambda{\left (r \right )} \nu{\left (r \right )}} + \frac{\frac{d}{d r} \lambda{\left (r \right )}}{r \nu{\left (r \right )}}\]
\[R_{11} = - \frac{\frac{d^{2}}{d r^{2}} \lambda{\left (r \right )}}{2 \lambda{\left (r \right )}} + \frac{\frac{d}{d r} \lambda{\left (r \right )} \frac{d}{d r} \nu{\left (r \right )}}{4 \lambda{\left (r \right )} \nu{\left (r \right )}} + \frac{\left(\frac{d}{d r} \lambda{\left (r \right )}\right)^{2}}{4 \lambda^{2}{\left (r \right )}} + \frac{\frac{d}{d r} \nu{\left (r \right )}}{r \nu{\left (r \right )}}\]
\[R_{22} = \frac{r \frac{d}{d r} \nu{\left (r \right )}}{2 \nu^{2}{\left (r \right )}} - \frac{r \frac{d}{d r} \lambda{\left (r \right )}}{2 \lambda{\left (r \right )} \nu{\left (r \right )}} + 1 - \frac{1}{\nu{\left (r \right )}}\]
\[R_{33} = \frac{\sin^{2}{\left (\theta \right )}}{\lambda{\left (r \right )} \nu^{2}{\left (r \right )}} \left(\frac{r}{2} \lambda{\left (r \right )} \frac{d}{d r} \nu{\left (r \right )} - \frac{r}{2} \nu{\left (r \right )} \frac{d}{d r} \lambda{\left (r \right )} + \lambda{\left (r \right )} \nu^{2}{\left (r \right )} - \lambda{\left (r \right )} \nu{\left (r \right )}\right)\]
Je už jen další zúžení Ricciho tenzoru podle (175): $ R = R^{\xi}_{\xi} $, které se dále používá v Einsteinových rovnicích. Pozor není to prostý součet výše uvedených členů, výpočet je o něco složitější (zvýšení indexu pomocí metriky).
\[R = - \frac{\frac{d^{2}}{d r^{2}} \lambda{\left (r \right )}}{\lambda{\left (r \right )} \nu{\left (r \right )}} + \frac{\frac{d}{d r} \lambda{\left (r \right )} \frac{d}{d r} \nu{\left (r \right )}}{2 \lambda{\left (r \right )} \nu^{2}{\left (r \right )}} + \frac{\left(\frac{d}{d r} \lambda{\left (r \right )}\right)^{2}}{2 \lambda^{2}{\left (r \right )} \nu{\left (r \right )}} + \frac{2 \frac{d}{d r} \nu{\left (r \right )}}{r \nu^{2}{\left (r \right )}} - \frac{2 \frac{d}{d r} \lambda{\left (r \right )}}{r \lambda{\left (r \right )} \nu{\left (r \right )}} + \frac{2}{r^{2}} - \frac{2}{r^{2} \nu{\left (r \right )}}\]
Je to vakuové řešení (hmotnost je jen ve "středu", tedy pro r=0), pravá strana T je tedy nulová. Použitelné rovnice jsou pouze na diagonále, zbytek jsou rovnosti typu 0=0
\[G_{00} = \frac{\lambda{\left (r \right )}}{r^{2} \nu^{2}{\left (r \right )}} \left(r \frac{d}{d r} \nu{\left (r \right )} + \nu^{2}{\left (r \right )} - \nu{\left (r \right )}\right)\]
\[G_{11} = \frac{\frac{d}{d r} \lambda{\left (r \right )}}{r \lambda{\left (r \right )}} - \frac{1}{r^{2}} \nu{\left (r \right )} + \frac{1}{r^{2}}\]
\[G_{22} = - \frac{r}{4 \lambda^{2}{\left (r \right )} \nu^{2}{\left (r \right )}} \left(- 2 r \lambda{\left (r \right )} \nu{\left (r \right )} \frac{d^{2}}{d r^{2}} \lambda{\left (r \right )} + r \lambda{\left (r \right )} \frac{d}{d r} \lambda{\left (r \right )} \frac{d}{d r} \nu{\left (r \right )} + r \nu{\left (r \right )} \left(\frac{d}{d r} \lambda{\left (r \right )}\right)^{2} + 2 \lambda^{2}{\left (r \right )} \frac{d}{d r} \nu{\left (r \right )} - 2 \lambda{\left (r \right )} \nu{\left (r \right )} \frac{d}{d r} \lambda{\left (r \right )}\right)\]
\[G_{33} = - \frac{r \sin^{2}{\left (\theta \right )}}{4 \lambda^{2}{\left (r \right )} \nu^{2}{\left (r \right )}} \left(- 2 r \lambda{\left (r \right )} \nu{\left (r \right )} \frac{d^{2}}{d r^{2}} \lambda{\left (r \right )} + r \lambda{\left (r \right )} \frac{d}{d r} \lambda{\left (r \right )} \frac{d}{d r} \nu{\left (r \right )} + r \nu{\left (r \right )} \left(\frac{d}{d r} \lambda{\left (r \right )}\right)^{2} + 2 \lambda^{2}{\left (r \right )} \frac{d}{d r} \nu{\left (r \right )} - 2 \lambda{\left (r \right )} \nu{\left (r \right )} \frac{d}{d r} \lambda{\left (r \right )}\right)\]
Použijeme jen první dvě rovnice (poslední dvě jsou závislé), vykrátíme co je možné, výsledek z první rovnice dosadíme do druhé, z Newtonovské limity určíme integrační konstanty a máme hotovo. Zbývá jen zkontrolovat výsledek.
\[0 = r \frac{d}{d r} \nu{\left (r \right )} + \nu^{2}{\left (r \right )} - \nu{\left (r \right )} => \]
\[\nu{\left (r \right )} = \frac{r}{r - r_{0}}\]
\[0 = r \frac{d}{d r} \lambda{\left (r \right )} - r_{0} \frac{d}{d r} \lambda{\left (r \right )} - \frac{r_{0}}{r} \lambda{\left (r \right )} => \]
\[\lambda{\left (r \right )} = 1 - \frac{r_{0}}{r}\]
Z Newtonovské limity je $ r_0 = \frac {2 GM}{c^2} $, kde G je gravitační konstanta, M hmotnost objektu a c rychlost světla ve vakuu. A je hotovo.
\[g_{\mu\nu} = \left[\begin{matrix}\frac{- r + r_{0}}{r} & 0 & 0 & 0\\0 & \frac{r}{r - r_{0}} & 0 & 0\\0 & 0 & r^{2} & 0\\0 & 0 & 0 & r^{2} \sin^{2}{\left (\theta \right )}\end{matrix}\right]\]
Tady jsou : schwarzschild.zip
A to je vše. Je celkem zřejmé, že provádět podobné výpočty tužkou na papíře a přitom se nesplést není asi legrace. Karl Schwarzschild to dělal v zákopech za světové války, stříleli po něm a spočítal to dobře. Za to určitě zaslouží úctu.