Na základě přednášky Václava Vavryčuka a následné diskuse jsem si začal tak trochu hrát s touto problematikou. Celkem brzy jsem si uvědomil, že tato problematika není úplně jednoduchá, nicméně jistou zkušenost s počítaním v rámci OTR mám a moc mi nešlo na rozum, že by použití jiného tvaru počáteční metriky mohlo dát jiné (měřené) výsledky. OTR vlastně říká, že na systému souřadnic nezáleží, v některých se to počítá lépe, v jiných hůře, ale výsledek musí být stejný. V textu se nezmiňuje kosmologická konstanta, dá se převést z levé strany Einsteinových rovnic na pravou a zahrnout do tenzoru energie-hybnosti jako hmota, jejíž hustota nezávisí na expanzi. Není to nic proti ničemu, jen není přímo vidět, že kontrahovaná Bianchiho identita, z níž plyne něco jako zákon zachování energie v OTR, zůstává zachována (kovariantní derivace metrického tenzoru je nulová).
Standardně se pro výpočet jako počáteční metrika používá tzv. FLRW metrika, která má koeficient expanze (obvykle značeno jako a(t), bezrozměrná funkce souřadnicového času) jen u prostorové části. Těmto souřadnicím se říká v angličtině "comoving coordinates", rozumný český překlad by snad byl "unášené". Naproti tomu p. Vavryčuk používá konformní souřadnice, kde se a(t) vyskytuje jak v prostorové části metriky, tak v časové.
| FLRW metrika | Konformní metrika | |
| $ ds^2=-c^2dt^2 + a^2\left( t \right) \left[ \frac{dr^2}{1 - \xi r^2} + r^2 d\Omega^2 \right] $ | $ ds^2=a^2\left( t \right) \left[-c^2dt^2 + \frac{dr^2}{1 - \xi r^2} + r^2 d\Omega^2 \right] $ | [1] |
| $ \dot{a}^2=\frac{8\pi G}{3} \rho a^2 - c^2 \xi $ | $ \dot{a}^2=\frac{8\pi G}{3} \rho a^4 - c^2 a^2 \xi $ | [2] |
| $ \frac{d}{d t} a{\left (t \right )} = k a^{1 - \omega}{\left (t \right )} $ | $ \frac{d}{d t} a{\left (t \right )} = k a^{2 - \omega}{\left (t \right )} $ | [3] |
| $ a{\left (t \right )} = \left(k \omega t \right)^{\frac{1}{\omega}} $ | $ a{\left (t \right )} = \left(k \omega t - k t\right)^{\frac{1}{\omega - 1}} $ | [4] |
| $ ds^2 = -c^2 d\tau^2 = -c^2 dt^2 $ | $ ds^2 = -c^2 d\tau^2 = -c^2 a^2 \left( t \right) dt^2 $ | [5] |
| $ d \tau = dt $ | $ d\tau = \left(k \omega t - k t\right)^{\frac{1}{\omega - 1}} dt $ | [6] |
| $ \tau = t $ | $ \tau = \frac{1}{k \omega} \left(k t \left(\omega - 1\right)\right)^{\frac{\omega}{\omega - 1}} $ | [7] |
| $ t = \tau $ | $ t = \frac{\left(k \omega \tau\right)^{\frac{\left(\omega - 1\right)}{\omega} }}{k \left(\omega - 1\right)} $ | [8] |
| $ a{\left (\tau \right )} = \left(k \omega \tau\right)^{\frac{1}{\omega}} $ | $ a{\left (\tau \right )} = \left(k \omega \tau\right)^{\frac{1}{\omega}} $ | [9] |
Obě metriky zapíšeme v obvyklém tvaru [1], úhlové části metriky jsou zjednodušeny. Z Einsteinových rovnic lze spočítat diferenciální rovnici pro expanzní funkci a(t) [2]. Aby tyto rovnice šly analyticky řešit, zavedeme následující zjednodušení
Pro foton platí $ ds^2=0 $, zkusme pro něj spočítat světočáru ve vlastním čase prostorově fixovaného tělesa.
| FLRW metrika | Konformní metrika | |
| $ \frac {c \cdot dt}{a{\left ( t \right )}} = dr $ | $ c \cdot dt = dr $ | [10] |
| $ r = \frac{c \left(k \omega \tau\right)^{\frac{1}{\omega} \left(\omega - 1\right)}}{k \left(\omega - 1\right)} $ | $ r = \frac{c \left(k \omega \tau\right)^{\frac{1}{\omega} \left(\omega - 1\right)}}{k \left(\omega - 1\right)} $ | [11] |
Vzoreček $ c \cdot {\int {\frac {dt}{a \left( t \right) }}} $ se v literatuře používá, ale v kosmologických vzdálenostech je dost hokej, takže se jestě toto násobí koeficientem z+1 (čili dělíme a(t) v čase emise). Důvod toho moc nechápu, nejsa astronom nevím přesně co a jak se měří, nicméně z Weinbergovy kosmologie (kap. 1.4, bod 3.) to dává smysl - kdybychom počítali jednotlivé fotony, tento koeficient by odpadl, ale praktická měření luminosity dávají něco jako hustotu výkonu záření a protože energie fotonů se při jejich cestě universem snižuje (roste vlnová délka), pak je tento koeficient celkem logický a správný (je to podobné reliktnímu záření).
Napsal jsem si na to program v Qt (lze spustit v prohlížeči), data jsou z Scolnic et al. Supernova Catalog, celkem se ty výsledky dají reprodukovat, takže to zase taková věda není, nicméně celé to dělá dojem, že pokud uděláme tečnu k expanzní funkci a(t) v současnosti, protne časovou osu v čase daném převrácenou hodnotou Hubbleovy konstanty (v současnosti) a protože to vlastně udává stáří vesmíru je asi velká snaha vyjádřit expanzní funkci tak, aby začínala právě v tomto bodě. Což ovšem vůbec není nutné.
Program počítá expanzní funkci a(t) numericky podle standardního kosmologického vzorce
\[ \left( \frac {\dot a}{a} \right) ^2 = H^2 = H_0^2 \cdot \left( \frac{\Omega_R}{a^4} + \frac{\Omega_M}{a^3} - \frac{\Omega_C}{a^2} + \Omega_{\Lambda} \right) \]
přičemž (index $ R $ je pro záření, $ M $ pro normální hmotu, $ \Lambda $ pro temnou energii, $ C $ pro křivost, $ H $ je Hubbleova konstanta, $ H_0 $ její současná hodnota)\[ \Omega_R + \Omega_M + \Omega_{\Lambda} + \Omega_C = 1 \]
takže 1. táhlem nastavujeme poměr $ \Omega_M / \Omega_{\Lambda} $ v procentech, 2. $ \Omega_C $ v rozsahu -10 až +10% (je to omezeno, zatím se obecně spíš počítá s nulovou hodnotou, nicméně nemá to zase tak velký vliv), 3. táhlo D nastavuje koeficient útlumu [dB/Gly], 4. táhlo O jemně offset magnitudy. Hrubě se tt. offset nastavuje automaticky podle magnitudy SN Ia ze zvoleného datasetu s nejmenším z. Ve zdrojácích je přiložen skript v pythonu, který stáhne Scolnicova data z internetu a vytvoří z toho soubor pantheon.h.Výpočet extinkce je dost problematický. Pokud to spočítáme poněkud naivně s tím, že pro světelný tok l zavedeme exponenciální útlum
\[ \mathscr l \approx \frac {e^{-{D_e \cdot d_l}}}{ \left( z + 1 \right)^2 d_l^2 } \; \Rightarrow \; m = 5 \cdot \log \left[ \left( z + 1 \right) \cdot d_l \right] + D \cdot d_l + O \]
pak se to projeví jako aditivní člen ve vzorci pro magnitudu. Takto je to počítáno v programu, dává to podobný charakter závislosti jako temná energie. Koeficient útlumu D lze vyčíst z programu a vychází (pro stejný účinek jako ta temná energie) řádově 3dB na každých 10 miliard světelných let dráhy fotonu. To mi připadá hodně málo. Pohlcování světla v galaxii je o mnoho řádů větší a tak nějak se mi zdá neuvěřitelné, že by v mezigalaktickém prostoru kleslo úplně na nulu.Nicméně fakt je, že dobrá shoda nastane jen když počítáme s tím, že je koeficient útlumu konstantní. Zde se tedy započítává jakoby světlo procházelo stále stejně hustým prostředím. To ale není pravda - už když vezmeme poměrně malou hodnotu z = 1, byl vesmír v době exploze SN Ia dvakrát "menší" a tedy osmkrát hustší. Pokud máme data pro z = 2, tam je pak hustota 27x větší - podle mne je nutné tento fakt započítat. Ale pokud to uděláme, pak je strmost závislosti m(z) pro větší z příliš velká a zřejmě bude pracné tohle nějak rozumně vysvětlit. Což kosmologové dobře vědí. A zřejmě to má dalekosáhlé konsekvence i v jiných měřeních.
Přidání křivosti způsobuje další problém, který je ale dost dobře řešitelný. Uvádím zde postup, protože z programu to není příliš vidět. Z OTR plyne pro dráhu fotonu $ d_l $ (luminositní vzdálenost)
\[ c \cdot \int_{-t}^{0}{\frac {d \tau}{a \left( \tau \right)}} = \int_{-d_l}^{0} {\frac {dr}{\sqrt {1 + k \cdot r^2}}} \]
Levá strana (označíme $ d_0 $) se vypočte numericky, pro integrál na pravé straně použijeme místo křivosti k něco jako poloměr vesmíru R substitucí $ k = 1 / R^2 $\[ d_0 = \int_{-d_l}^{0}{\frac {dr}{ \sqrt {1 \pm \frac {r^2}{R^2}}}} \]
Z toho je už vidět další substituce $ \xi = r/R, d\xi = dr/R \Rightarrow dr = R d\xi $\[ d_0 = R \cdot \int_{-\xi_l}^{0}{\frac{d\xi}{\sqrt{\left( 1 \pm \xi^2 \right)}}} = \begin{cases} R \cdot arcsin \left( \xi_l \right) & \text{k > 0} \\ d_l & \text{k = 0}\\ R \cdot arcsinh \left( \xi_l \right) & \text{k < 0} \end{cases} \]
\[ \xi_l = \frac {d_l}{R} = \sin \left( \frac{d_0}{R} \right) \Rightarrow d_l = R \cdot \sin \left( \frac{d_0}{R} \right) \]
\[ \xi_l = \frac {d_l}{R} = \sinh \left( \frac{d_0}{R} \right) \Rightarrow d_l = R \cdot \sinh \left( \frac{d_0}{R} \right) \]
Tyto výrazy moc počítat nejdou, pro malou křivost jsou typu nekonečno * 0, ale je možné jednotně je rozvinout do řady\[ d_l = R \cdot \left[ \left( \frac{d_0}{R} \right) \mp \frac{1}{3!} \left( \frac{d_0}{R} \right)^3 + \cdots \right] = d_0 \cdot \left[ 1 \mp \frac{1}{3!} \left( \frac{d_0}{R} \right)^2 + \cdots \right] \]
což už počítat jde. Řada v hranatých závorkách je něco jako $ \frac {\sin{\left( x \right)}}{x} $ (příp. sinh), pro kladnou křivost se znaménka střídají, pro zápornou je všude plus. Tyto funkce se ve standardní knihovně nevyskytují, takže je potřeba řadu stejně sečíst. Pak je $ R = \frac{c}{H_0 \sqrt{\Omega_C}} $, argument řady (počítáme ve světelných létech, c = 1) $ \frac{d_0}{R} = H_0 \sqrt{\Omega_C} \cdot d_0 $ by neměl být větší než 1 (zhruba). Je vidět, že pro $ \Omega_C = 0 $ je řada rovna 1 a $ d_l = d_0 $, což jsme chtěli.
Dělat z tohoto závěr, že existuje nějaká temná energie, notabene s většinovým podílem na celkové bilanci, je přinejmenším velmi odvážné. Ve zdrojácích programu je ještě pár praktických poznámek, které se mohou hodit. I když by se mohlo zdát, že nepracnější část je odvodit diferenciální rovnice pro expanzní funkci, není tomu tak. Dnes už umí software zpracovat i složité symbolické výpočty - v tomto příkladu je kompletní odvození FLRW metriky z OTR, výsledek je pak zde.
Dovolím si přidat vlastní názor. Přidání temné energie do modelu je celkem jednoduchý způsob jak vysvětlit naměřená data. Pořád ale zůstává rozpor mezi současnou hodnotou Hubbleovy konstanty vypočtenou z pozorování supernov Ia kontra hodnotou vypočtenou z rozboru reliktního záření. Podle mne jsme něco přehlédli nebo nedomysleli. Sama OTR mi připadá taková jakoby "gumová" - jako bychom měřili metrem, který se sám natahuje. Není problém něco spočítat, obtížné je pak ten výsledek správně interpretovat. Ono je to vidět i ze schůzek KS ČAS, respektive z diskusí po přednáškách. Co člověk, to jiný pohled na problematiku. Není to ani tak tím, že problematika je složitá, ale spíš tím, že je obtížné si představit co vlastně počítáme. A že to není až taková věda je vidět i z toho, že i já jako člověk bez formálního astronomického nebo kosmologického vzdělání jsem v zásadě schopen samostudiem pochopit celkem do detailu jak standardní kosmologický model funguje a reprodukovat výsledky jiných.
Model v zásadě staví na předpokladu, že fyzikální zákony fungují úplně stejně v ranném vesmíru jako dnes. To ale vůbec nemusí být pravda a bude poměrně těžké to ověřit. Nejsme schopni vytvořit podmínky jaké panovaly v rannějším vesmíru a pozorovat děje tam probíhající přímo, takže to pozorujeme jen nepřímo na velkou vzdálenost, což může vést k systematickým chybám, které neumíme dobře odhadnout. Příkladem může být extinkce - na ní závisí parametry modelu poměrně podstatně. A je vůbec jisté, že SN Ia v daleké minulosti musela vybuchnout právě při hmotnosti 1.4 Ms jako dnes a se stejnou intenzitou jako dnes ? A takovéto pochybnosti lze uvést i pro řadu dalších parametrů modelu.
A trochu nezajímavé filozofie na konec tohoto povídání.
Je k diskusi, zda metrika v OTR je jen matematický nástroj nebo je to něco skutečného, fyzikálního. Metrický tenzor vlastně popisuje gravitaci podobně jako Maxwellův tenzor popisuje elektromagnetizmus. To by svědčilo spíš o tom, že je to v nějakém smyslu reálná fyzikální veličina a nemůžeme jí tedy volit libovolně. Na druhou stranu v elektromagnetizmu není Maxwellův tenzor F invariantní vůči pohybu pozorovatele. Různí, vzájemně se pohybující pozorovatelé naměří různé hodnoty F a celkem nikoho to neudivuje i když pole vektorů E a B, která tento tenzor popisuje považujeme za reálná. Je tu však něco na čem se pozorovatelé shodnou - je to kvadrát Maxwellova tenzoru, klasicky vyjádřeno jako $ \mathcal L = \frac {1}{4 \mu_0} F_{\alpha \beta} \cdot F^{\alpha \beta} = \frac{1}{2} \left( \mathbf{D \cdot E + B \cdot H} \right) $, což je hustota elektromagnetické energie. V OTR se za invariant teorie považuje kvadrát časoprostorového intervalu $ ds^2 $. Zda je to správně, je otázka, je to asi jen převzato ze STR. Ale počítají tak všichni, tak to zde přebírám bez komentáře, nakonec jinak to neumím. A věřím, že pokud by tomu bylo jinak, pak už by na to snad za těch víc jak sto let od formulace OTR někdo přišel. Z toho by pak mohlo vyplývat, že metrický tenzor je spíš matematický konstrukt než fyzikální veličina, ale to je spíš filozofie než fyzika. Pořád musíme mít na mysli, že je rozdíl mezi matematickým modelem a skutečností.
Pak je ovšem zajímavé, že OTR, která je s kvantovou fyzikou zatím na kordy, s ní vykazuje jednu podobnost - je to velká míra volnosti v matematickém popisu. V OTR si můžeme časoprostor "počmárat" souřadnicovou sítí prakticky libovolně, ovšem jen s některým systémem souřadnic se dobře pracuje. A jen tím je vlastně tato volba omezena. V kvantové mechanice je volnost matematického popisu ještě větší. Míra abstrakce se zvětšila tím, že pozorovatelné veličiny popisujeme operátory v Hilbertově prostoru, které jen musí splňovat určité komutační relace ale jinak vůbec nezáleží na tom jaké matematické objekty pro to použijeme. Heisenbergova mechanika používá matice, Schrödingerova diferenciální operátory - výsledky to opět dává stejné. A ještě můžeme použít Schrödingerovu souřadnicovou reprezentaci stejně jako reprezentaci hybnostní a navíc je to zcela ekvivalentní s popisem jaký používá Feynman ve svém dráhovém integrálu, kde vůbec není nutné zavádět abstraktní Hilbertovův prostor. Jen se s tím dost obtížně počítá. V některých případech (znám jen harmonický oscilátor) se dá počítat zcela bez volby reprezentace, čistě jen na základě vlastností operátorů. Tohle v OTR chybí - možná budoucí vývoj ukáže, že bude lépe dělat fyziku v nějakém ještě abstraktnějším matematickém prostoru, ze kterého pak souřadnice vypadnou samy od sebe podobně jako jiné měřitelné veličiny. Nicméně se může ukázat, že to celé děláme úplně blbě a pokud je časoprostor na jisté úrovni diskrétní, je docela možné, že matematický aparát pro takovýto popis ještě neexistuje (a může se ukázat, že ani existovat nemůže). Je dobré si uvědomit, že popis fyzikálního světa pomocí reálných či komplexních čísel spolu s diferenciálními rovnicemi se používá jen proto, že je relativně jednoduchý a úspěšný. Divergující veličiny v OTR i ta nekonečna ve standardním modelu kvantové teorie pole naznačují, že je tam něco špatně.